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Wahrheitstabellen

• Wahrheitstabellen
  • 1. Grundlagen
    • Boolesche Werte
    • Grundlegende logische Operatoren
  • 2. Wahrheitstabelle erstellen
  • 3. Komplexere Ausdrücke
  • 4. Vorgehensweise zur Erstellung
  • 5. Praxisbeispiel
  • 6. Anwendungen

Wahrheitstabellen sind ein zentrales Werkzeug in der digitalen Logik und Booleschen Algebra. Sie zeigen, wie sich logische Ausdrücke oder digitale Schaltungen in Abhängigkeit von den Eingangswerten verhalten.

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1. Grundlagen

Boolesche Werte

• 0 steht für "falsch"
• 1 steht für "wahr"

Grundlegende logische Operatoren

Operation	Symbol	Bedeutung	Beispiel A=1, B=0	Ergebnis
NICHT	¬A	Invertiert A	¬1	0
UND	A ∧ B	Nur wahr, wenn beide wahr	1 ∧ 0	0
ODER	A ∨ B	Wahr, wenn mindestens einer wahr ist	1 ∨ 0	1
XOR	A ⊕ B	Wahr, wenn nur einer wahr ist	1 ⊕ 0	1

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2. Wahrheitstabelle erstellen

Beispiel: Ausdruck A ∧ B

A	B	A ∧ B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Erklärung: Nur in der letzten Zeile sind beide Eingänge 1, daher ist nur dort das Ergebnis 1.

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3. Komplexere Ausdrücke

Beispiel: ¬(A ∨ B)

A	B	A ∨ B	¬(A ∨ B)
0	0	0	1
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	1	0

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4. Vorgehensweise zur Erstellung

1. Liste alle Kombinationen der Eingänge:

   • Für n Eingänge gibt es 2ⁿ Kombinationen.
   • Beispiel: 3 Eingänge → 8 Kombinationen

2. Füge Spalten für Teilschritte ein (Hilfsspalten, z. B. A ∨ B)

3. Berechne Zeile für Zeile das Ergebnis

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5. Praxisbeispiel

Ausdruck: (A ∧ B) ∨ (¬C)

A	B	C	A ∧ B	¬C	(A ∧ B) ∨ ¬C
0	0	0	0	1	1
0	0	1	0	0	0
0	1	0	0	1	1
0	1	1	0	0	0
1	0	0	0	1	1
1	0	1	0	0	0
1	1	0	1	1	1
1	1	1	1	0	1

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6. Anwendungen

• Digitale Schaltungen: Wahrheitstabellen zeigen, wie Logikgatter wie AND, OR, NOT zusammenspielen.
• Fehlersuche: Prüfen, ob eine Schaltung korrekt funktioniert.
• Optimierung: Vereinfachung boolescher Ausdrücke, z. B. mit Karnaugh-Diagrammen.

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