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# Wahrheitstabellen
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- [Wahrheitstabellen](#wahrheitstabellen)
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- [1. **Grundlagen**](#1-grundlagen)
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- [Boolesche Werte](#boolesche-werte)
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- [Grundlegende logische Operatoren](#grundlegende-logische-operatoren)
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- [2. **Wahrheitstabelle erstellen**](#2-wahrheitstabelle-erstellen)
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- [3. **Komplexere Ausdrücke**](#3-komplexere-ausdrücke)
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- [4. **Vorgehensweise zur Erstellung**](#4-vorgehensweise-zur-erstellung)
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- [5. **Praxisbeispiel**](#5-praxisbeispiel)
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- [6. **Anwendungen**](#6-anwendungen)
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Wahrheitstabellen sind ein zentrales Werkzeug in der digitalen Logik und Booleschen Algebra. Sie zeigen, wie sich logische Ausdrücke oder digitale Schaltungen in Abhängigkeit von den Eingangswerten verhalten.
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## 1. **Grundlagen**
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### Boolesche Werte
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- `0` steht für **"falsch"**
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- `1` steht für **"wahr"**
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### Grundlegende logische Operatoren
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| Operation | Symbol | Bedeutung | Beispiel `A=1, B=0` | Ergebnis |
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| --------- | ------- | ------------------------------------ | ------------------- | -------- |
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| NICHT | `¬A` | Invertiert A | `¬1` | `0` |
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| UND | `A ∧ B` | Nur wahr, wenn beide wahr | `1 ∧ 0` | `0` |
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| ODER | `A ∨ B` | Wahr, wenn mindestens einer wahr ist | `1 ∨ 0` | `1` |
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| XOR | `A ⊕ B` | Wahr, wenn **nur einer** wahr ist | `1 ⊕ 0` | `1` |
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## 2. **Wahrheitstabelle erstellen**
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Beispiel: Ausdruck `A ∧ B`
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| A | B | A ∧ B |
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| - | - | ----- |
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| 0 | 0 | 0 |
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| 0 | 1 | 0 |
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| 1 | 0 | 0 |
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| 1 | 1 | 1 |
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**Erklärung:** Nur in der letzten Zeile sind beide Eingänge `1`, daher ist nur dort das Ergebnis `1`.
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## 3. **Komplexere Ausdrücke**
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Beispiel: `¬(A ∨ B)`
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| A | B | A ∨ B | ¬(A ∨ B) |
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| - | - | ----- | -------- |
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| 0 | 0 | 0 | 1 |
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| 0 | 1 | 1 | 0 |
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| 1 | 0 | 1 | 0 |
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| 1 | 1 | 1 | 0 |
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## 4. **Vorgehensweise zur Erstellung**
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1. Liste alle Kombinationen der Eingänge:
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- Für `n` Eingänge gibt es `2ⁿ` Kombinationen.
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- Beispiel: 3 Eingänge → 8 Kombinationen
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2. Füge Spalten für Teilschritte ein (Hilfsspalten, z. B. `A ∨ B`)
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3. Berechne Zeile für Zeile das Ergebnis
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## 5. **Praxisbeispiel**
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Ausdruck: `(A ∧ B) ∨ (¬C)`
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| A | B | C | A ∧ B | ¬C | (A ∧ B) ∨ ¬C |
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| - | - | - | ----- | -- | ------------ |
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| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
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| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
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| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
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| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
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| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
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| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
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| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
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| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
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## 6. **Anwendungen**
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- **Digitale Schaltungen**: Wahrheitstabellen zeigen, wie Logikgatter wie AND, OR, NOT zusammenspielen.
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- **Fehlersuche**: Prüfen, ob eine Schaltung korrekt funktioniert.
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- **Optimierung**: Vereinfachung boolescher Ausdrücke, z. B. mit Karnaugh-Diagrammen.
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