# Wahrheitstabellen

- [Wahrheitstabellen](#wahrheitstabellen)
  - [1. **Grundlagen**](#1-grundlagen)
    - [Boolesche Werte](#boolesche-werte)
    - [Grundlegende logische Operatoren](#grundlegende-logische-operatoren)
  - [2. **Wahrheitstabelle erstellen**](#2-wahrheitstabelle-erstellen)
  - [3. **Komplexere Ausdrücke**](#3-komplexere-ausdrücke)
  - [4. **Vorgehensweise zur Erstellung**](#4-vorgehensweise-zur-erstellung)
  - [5. **Praxisbeispiel**](#5-praxisbeispiel)
  - [6. **Anwendungen**](#6-anwendungen)

Wahrheitstabellen sind ein zentrales Werkzeug in der digitalen Logik und Booleschen Algebra. Sie zeigen, wie sich logische Ausdrücke oder digitale Schaltungen in Abhängigkeit von den Eingangswerten verhalten.

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## 1. **Grundlagen**

### Boolesche Werte

- `0` steht für **"falsch"**
- `1` steht für **"wahr"**

### Grundlegende logische Operatoren

| Operation | Symbol  | Bedeutung                            | Beispiel `A=1, B=0` | Ergebnis |
| --------- | ------- | ------------------------------------ | ------------------- | -------- |
| NICHT     | `¬A`    | Invertiert A                         | `¬1`                | `0`      |
| UND       | `A ∧ B` | Nur wahr, wenn beide wahr            | `1 ∧ 0`             | `0`      |
| ODER      | `A ∨ B` | Wahr, wenn mindestens einer wahr ist | `1 ∨ 0`             | `1`      |
| XOR       | `A ⊕ B` | Wahr, wenn **nur einer** wahr ist    | `1 ⊕ 0`             | `1`      |

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## 2. **Wahrheitstabelle erstellen**

Beispiel: Ausdruck `A ∧ B`

| A | B | A ∧ B |
| - | - | ----- |
| 0 | 0 | 0     |
| 0 | 1 | 0     |
| 1 | 0 | 0     |
| 1 | 1 | 1     |

**Erklärung:** Nur in der letzten Zeile sind beide Eingänge `1`, daher ist nur dort das Ergebnis `1`.

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## 3. **Komplexere Ausdrücke**

Beispiel: `¬(A ∨ B)`

| A | B | A ∨ B | ¬(A ∨ B) |
| - | - | ----- | -------- |
| 0 | 0 | 0     | 1        |
| 0 | 1 | 1     | 0        |
| 1 | 0 | 1     | 0        |
| 1 | 1 | 1     | 0        |

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## 4. **Vorgehensweise zur Erstellung**

1. Liste alle Kombinationen der Eingänge:

   - Für `n` Eingänge gibt es `2ⁿ` Kombinationen.
   - Beispiel: 3 Eingänge → 8 Kombinationen

2. Füge Spalten für Teilschritte ein (Hilfsspalten, z. B. `A ∨ B`)

3. Berechne Zeile für Zeile das Ergebnis

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## 5. **Praxisbeispiel**

Ausdruck: `(A ∧ B) ∨ (¬C)`

| A | B | C | A ∧ B | ¬C | (A ∧ B) ∨ ¬C |
| - | - | - | ----- | -- | ------------ |
| 0 | 0 | 0 | 0     | 1  | 1            |
| 0 | 0 | 1 | 0     | 0  | 0            |
| 0 | 1 | 0 | 0     | 1  | 1            |
| 0 | 1 | 1 | 0     | 0  | 0            |
| 1 | 0 | 0 | 0     | 1  | 1            |
| 1 | 0 | 1 | 0     | 0  | 0            |
| 1 | 1 | 0 | 1     | 1  | 1            |
| 1 | 1 | 1 | 1     | 0  | 1            |

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## 6. **Anwendungen**

- **Digitale Schaltungen**: Wahrheitstabellen zeigen, wie Logikgatter wie AND, OR, NOT zusammenspielen.
- **Fehlersuche**: Prüfen, ob eine Schaltung korrekt funktioniert.
- **Optimierung**: Vereinfachung boolescher Ausdrücke, z. B. mit Karnaugh-Diagrammen.

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